Дадим теперь способ построения из класса отображений сферы S k+l в сферу S l некоторого класса отображений сферы S k+l+1 в сферу S l+1. Пусть Mk — некоторое оснащённое многообразие, расположенное в Rk+l. Включим пространство Rk+l в пространство Rk+l+1 и добавим к ортонормальной системе n1(x), n2(x)…, nl(x), заданной в точке x многообразия Mk, ещё один вектор nl+1(x), идущий в пространстве Rk+l+1 перпендикулярно пространству Rk+l. Так полученное оснащённое многообразие M̃k, исходящее из многообразия Mk, определяет класс отображений сферы S k+l+1 в сферу S l+1, который будем называть надстройкой над исходным классом.
Докажем, что при l>k каждый класс отображений (k+l+1) — мерной сферы S k+l+1 в (l+1) — мерную сферу S l+1 является надстройкой. Будем считать, что l>k и пусть M̃k — некоторое оснащённое многообразие, расположенное в пространстве Rk+l. Каждой паре точек (x, y) многообразия M̃k поставим в соответствие направление той прямой, которая проходит через эту пару точек. Мы не исключаем пары вида x=y. Соответствующее ей направление касательно к многообразию Mk. Многообразие всех указанных направлений обозначим через N 2k, так как размерность его равна 2k. Поскольку размерность множества всех направлений, имеющихся в пространстве Rk+l+1, равна k+l и k+l>2k, то найдётся в Rk+l+1 такое направление, что проектирование вдоль него на ортогональное к нему подпространство Rk+l многообразия M̃k не даёт особенностей. Проектирование многообразия M̃k на многообразие Mk можно осуществить в форме непрерывной деформации, в результате которой ортонормальная система, имеющаяся на M̃k, перейдёт в некоторую ортонормальную систему на многообразии Mk.