Таким образом, каждой точке x многообразия Mk соответствует ортонормальная система n1(x)…, nl+1(x). Теперь мы непрерывно продеформируем эту ортонормальную систему так, чтобы вектор nl+1(x) стал вектором n, нормальным пространству Rk+l. Координаты единичного вектора n в ортонормальной системе n1(x)…, nl+1(x) обозначим через ξ1(x)…, ξl+1(x). Координаты вектора nl+1(x) в этой ортонормальной системе суть (0, 0…, 0, 1). Координаты ξ1(x)…, ξl+1(x) определяют точку n(x) в единичной сфере Ωl; n(x) есть отображение многообразия Mk в сферу Ωl. Поскольку l>k отображение n можно продеформировать в одну точку nl+1(x). Пусть φt(x) — эта деформация. Будем считать, что φ0(x) есть точка nl+1(x), а φ1(x) = n(x). Деформация φt(x) даёт движение точки nl+1(x) в точку n(x). Это движение вектора nl+1(x) можно распространить на движение всей ортонормальной системы.
Таким образом, мы продеформировали исходную ортонормальную систему n1(x), n2(x)…, nl+1(x), таким образом, что последний вектор её стал нормальным к подпространству R k+l, и потому полученное нами оснащённое многообразие Mk является надстройкой.
Аналогично доказывается, что если l>k+1 и две надстройки дают гомофонически эквивалентные отображения, то исходные оснащённые многообразия также дают гомотопически эквивалентные отображения.
Итак, установлено, что при l>k оснащённое многообразие Mk, расположенное в Rk+l+1, эквивалентно надстройке Mk, расположенной в Rk+l, и что при l>k+1 эквивалентность таких двух надстроек равносильна эквивалентности оснащённых многообразий. Таким образом, группа отображений сферы S k+l в сферу S l стабилизируется при l≥k+2. Группа отображений сферы S 2k+2 на S k+2 является фактор-группой отображений сферы S 2k+1 на сферу S k+1. В частности, при k=1 группа отображений сферы S 3 на сферу S 2 является свободной циклической группой, а группа отображений S l+1 в S l при l>2 — циклическая второго порядка.