Постараюсь дать здесь объяснение причины этого явления. Пусть R2 — плоскость, лежащая в евклидовом пространстве Rl+1, M1 — единичная окружность с центром в точке O в плоскости R2. Обозначим через n10(x) единичный вектор, выходящий из точки x окружности M1, направленный перпендикулярно к ней наружу и лежащий в плоскости R2, а через n2, n3…, nl, обозначим некоторую ортонормальную систему векторов, перпендикулярных к R2 и расположенных в Rl+1. Если эти векторы, параллельно перенесённые в точку x, обозначить через n20(x)…, nl0(x), то окружность M1 с ортонормальной системой n10(x)…, nl0(x) представляет собой одномерное оснащённое многообразие. Пусть теперь n1(x), n2(x)…, nl(x) — некоторое произвольное оснащение многообразия M1. Переход от ортонормальной системы n10(x), n20(x)…, nl0(x) к системе n1(x), n2(x)…, nl(x) даётся ортогональной матрицей порядка l, которую мы обозначим через h(x); h даёт нам отображение окружности M1 в группу H1 ортогональных матриц порядка l. H2 представляет собой окружность, и мы имеем счётное число классов отображений окружности M1 в окружность H2. В случае l>2 имеются только два класса отображения окружности M1 в группу Hl. Этим и объясняется тот факт, что группа классов отображений S 3 в S 2 есть свободная циклическая, а группа отображений S l+1 в S l при l>2 — циклическая второго порядка.
После того как я установил, что оснащённые многообразия играют важную роль в гомотопической теории, я занялся многообразиями, гладко расположенными в евклидовом пространстве. Первый вопрос, который здесь естественно возникает, заключается в следующем: при каких условиях многообразие Mk, расположенное гладко в евклидовом пространстве Rk+l, может быть оснащено? В каждой точке x многообразия Mk проведём полную нормаль Nxl к многообразию Mk в евклидовом пространстве Rk+l. В каждом отдельном евклидовом пространстве Nxl при фиксированном x, конечно, можно выбрать ортонормальную систему из l векторов. Но можно ли выбрать эти ортонормальные системы в каждом Nxl так, чтобы они непрерывно зависели от x, непосредственно не видно и, как показывают примеры, не всегда можно. Таким образом, возникла задача какого-то исследования совокупности всех нормалей Nxl в точках многообразия Mk. От нормали естественно было перейти к касательным. В каждой точке x ориентированного многообразия Mk проведём касательную к многообразию Mk плоскость Tx размерности k. Для того чтобы изучить совокупность всех нормалей Nxl, можно изучать совокупность всех касательных Tx. Для этого изучения я рассмотрел многообразие H(k, l), состоящее из всех k-мерных ориентированных плоскостей пространства Rk+1, проходящих через заданную точку О, и поставил в соответствие каждой касательной плоскости Tx плоскость Т(x) размерности k, проходящую через О и параллельную Tx. Функция Т(x), ставящая в соответствие каждой точке x многообразия Mk точку Т(x) многообразия H(k, l), даёт нам гладкое отображение T многообразия Mk. Отображение это я назвал тангенциальным, и естественно предположить, что его гомологические свойства должны в какой-то степени отражать свойства многообразия Mk. Гомологические свойства отображений одного многообразия в другое есть вещь вполне определённая, но описать эти свойства можно по-разному. Я выбрал следующий способ описания. Обозначим через n размерность многообразия H(k, l), и пусть z — некоторый цикл многообразия H(k, l) размерности (n — k+r). На многообразии T(Mk) цикл z высекает некоторый цикл, который обозначим zr, а его прообраз в многообразии Mk обозначим через zr. Класс гомологий цикла z многообразия H(k, l) однозначно определяет класс гомологий цикла z в многообразии Mk. Цикл zr я назвал r-мерным характеристическим циклом многообразия Mk, а его класс гомологий — r-мерным характеристическим классом.
69
Понтрягин Л. С. Характеристические циклы многообразий. — Докл. АН СССР, 1942, т. 35, № 2, с. 35–39.