Легко доказывается, что при достаточно большом l характеристический класс является инвариантом гладкого многообразия Mk, т. е. не зависит от расположения Mk в евклидовом пространстве Rk+l. Тангенциальное отображение T является естественным обобщением так называемого сферического отображения многообразия Mk, расположенного в евклидовом пространстве Rk+1. Оно отображает многообразие Mk в сферу Sk. Сферические отображения многообразия рассматриваются уже давно как в дифференциальной геометрии, так и в топологии. Известно было, что степень сферического отображения многообразия Mk на сферу Sk является топологическим инвариантом многообразия Mk, а именно, равна половине его эйлеровой характеристики. В дифференциальной геометрии из сферического отображения получается гауссова кривизна многообразия Mk, а её интеграл по всему многообразию Mk называется интегральной кривизной. Таким образом, данная мной конструкция была далеко идущим обобщением известной конструкции.
Введённые мной характеристические классы гладких многообразий подверглись в дальнейшем широкому изучению другими математиками. Я же сделал с ними довольно мало. Первая попытка заключалась в том, чтобы доказать топологическую инвариантность характеристических классов, но это мне не удалось. Задача была решена много позже С. П. Новиковым. Я же сам дал для характеристических классов другие определения при помощи систем векторных полей, заданных на многообразии Mk и при помощи риманова тензора многообразия Mk, пользуясь дифференциальной геометрией.
Кроме описанных, мной были получены некоторые результаты по классификации отображений комплекса Kl+r размерности l+r в сферу Sl [70] и при изучении таких отображений был введен квадрат Ñ-цикла размерности l, представляющий собой Ñ-цикл размерности l+2. Позже американский математик Стинрод дал более общее определение квадрата Ñ-цикла, чем я. Кроме того, мной были получены некоторые результаты по классификации отображений сферы в комплексы[71].
7. Pontryagin L. S. The general topological theorem of duality for closed sets. — Ann. Math., 1934, vol. 35, № 4, p. 904–914.
13. Pontriaguine L. Sur le transformations des spheres en spheres. — In: C. r. congr. intern. math. Oslo, 1936, 1937, vol. 2, p. 140.
70
Понтрягин Л. С. Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу. — Докл. АН СССР, 1936, т. 19, № 3, с. 147–149.
71
Понтрягин Л. С. Отображения трехмерной сферы в комплекс. — Докл. АН СССР, 1942, т. 34, № 2, с. 39–41.