Оптимизация и дифференциальные игры
Вопрос о том, чем следует заниматься, стоит для математиков, быть может, острее, чем для специалистов в других областях знания. Математика, возникшая как чисто прикладная наука, и в настоящее время имеет своей основной задачей изучение окружающего нас материального мира с целью использования его для нужд человечества. В то же время она имеет свою внутреннюю логику развития, следуя которой математики создают понятия и даже целые разделы, являющиеся продуктом чисто умственной деятельности, которые никак не связаны с окружающей нас материальной действительностью и не имеют в настоящее время никаких приложений. Эти разделы зачастую обладают большой стройностью и некоторого рода красотой. Однако такого рода красота не может служить оправданием их существования. Математика не музыка, красоты которой доступны большому количеству людей. Математические красоты могут быть поняты лишь немногими специалистами. Создавая такие красоты, математики практически работают только на себя.
Невозможно, однако, утверждать, что обладающие внутренней стройностью, но лишенные приложений разделы математики не имеют права на существование. Они составляют внутреннюю ткань науки, иссечение которой могло бы привести к нарушению всего организма в целом. Кроме того, оказывается, что некоторые отделы математики, лишённые приложений в течение многих веков, позже находят эти приложения. Классическим примером служат кривые второго порядка, созданные в древности из внутренних потребностей науки и нашедшие лишь позже очень важное применение. С другой стороны, некоторые разделы математики, занимающиеся лишь внутренними проблемами, постепенно вырождаются и почти наверняка оказываются ни для чего не нужными.
В этой обстановке вопрос о выборе тематики исследований становится для математиков весьма тревожным. Я считаю, что если не все, то во всяком случае многие математики должны в своей работе обращаться к первоисточникам, то есть к приложениям математики. Это необходимо как для того, чтобы оправдать своё существование, так и для того, чтобы влить новую свежую струю в научные исследования.
Исходя из этих соображений, а также находясь под некоторым давлением руководства Математического института им. В. А. Стеклова, я и три моих сотрудника Е. Ф. Мищенко, Р. В. Гамкрелидзе и В. Г. Болтянский решили заняться поиском прикладных тем для своих исследований в теории колебаний, точнее в математическом изучении электронных приборов и в теории регулирования, которую более общо теперь разумнее назвать теорией управления. Мы заранее исключили из своего рассмотрения математические задачи, уже сформулированные техниками, а основали свой поиск на ознакомлении с техническими проблемами, устанавливая контакты с многими специалистами в области техники. При этом мы не просто стремились найти приложения математики, но старались найти новые постановки математических задач, интересные с точки зрения самой математики.
Среди многих технических задач, с которыми мы ознакомились, была следующая. Некий специалист в области авиации сказал: «Если один самолёт преследует другой самолёт, то пилот преследователя, конечно, умеет это делать, но интересно было бы иметь теорию, быть может, даже такую, которая позволяла бы осуществлять преследование при помощи автомата». Мы все понаслышке знаем, что существуют самонаводящиеся ракеты. Но ракета обладает такими преимуществами в скорости и маневренности перед самолётом, что теория, на которой основано её поведение, может быть очень грубой.
Хочу сразу обратить внимание на странность этой задачи, которая на первых порах казалась нам совершенно неприступной. В самом деле, самолёт-преследователь очевидным образом не должен лететь в то место, где в настоящее время находится убегающий самолёт, так как последний, конечно же, уйдёт с того места, где он сейчас находится. В то же время бессмысленно предполагать, что убегающий самолёт движется по прямой: он может повернуть, причём неизвестно куда.
Задача о преследовании одного самолёта другим самолётом, насколько я знаю, до сих пор не решена. Рассмотрены упрощённые модели преследования, которые составляют предмет так называемой теории дифференциальных игр. Слово «игра» указывает на то обстоятельство, что будущее поведение каждого из самолётов неизвестно: оно зависит от воли пилота. Дифференциальной эта игра называется потому, что закон движения самолёта описывается дифференциальными уравнениями.