Для того чтобы применить математику к решению какой-либо технической задачи, прежде всего надо дать её математическое описание. В данном случае мы начнём с математического описания движения самолёта. При этом, как всегда это делают математики, мы будем отвлекаться от излишней конкретности, стремясь уловить лишь главные характерные черты технической задачи, подлежащей решению. Мы будем рассматривать самолёт как точку, движущуюся в пространстве. Известно, что положение точки в пространстве определяется тремя координатами. Их мы обозначим через x1, x2, x3. Так как точка (самолёт) движется, то она имеет и некоторую скорость-вектор. Компоненты этого вектора мы обозначим через x4, x5, x6. Величины x1, x2…, x6 определяют состояние движущейся точки в данный момент времени и называются её фазовыми координатами. Для того чтобы отвлечься от излишней конкретности, мы будем рассматривать объект, состояние которого в данный момент времени определяется не шестью, а произвольным числом фазовых координат. Их мы обозначим через x1, x2…, xn. Совокупность всех этих величин вместе принято обозначать одной буквой, так что мы полагаем x = (x1, x2…, xn). Здесь x есть точка фазового пространства нашего объекта, или фазовый вектор нашего объекта. Произвольную фазовую координату объекта обозначают через xi, где i может принимать любое значение: i = 1, 2…, n. Так как состояние объекта меняется со временем, то величина xi также меняется со временем, и скорость её изменения обозначается обычно через xi′. Это есть производная величины xi по времени t. Физическая закономерность поведения объекта, как правило, заключается в том, что скорость xi′ изменения фазовой координаты xi нашего объекта однозначно определяется фазовыми координатами объекта x1, x2…, xn, что математически записывается в виде формулы
Это значит, что xi′ есть функция величин x1, x2…, xn, то есть может быть вычислена, если величины x1, x2…, xn известны. Здесь мы имеем n неизвестных величин x1, x2…, xn, которые меняются со временем, то есть являются функциями времени: xi = xi(t), и n дифференциальных уравнений, так что задачу можно решать математически, то есть получить закономерность изменения состояния объекта со временем, найти x как функцию времени: x = x(t).
При помощи уравнений вида (1) могут быть описаны весьма разнообразные объекты. Объекты могут быть не только механическими, но и другого рода, например, химический процесс может быть описан уравнениями типа (1). В этом случае массы различных веществ, входящих в реакцию, являются фазовыми координатами x1, x2…, xn нашего объекта. Такими же уравнениями может быть описан и биологический процесс, например сосуществование на острове волков, зайцев и травы. Экономические закономерности также допускают описание при помощи системы уравнений типа (1).
Приведённое здесь описание движения самолёта не содержит главного для нас элемента. В самолёте сидит пилот, который по своей воле может менять закономерность его движения, приводя в действие рули управления. Так, пилот может менять тягу двигателя, положение хвостового руля, положение закрылков. Положение каждого из элементов управления определяется некоторым числом. Все эти числа мы обозначим через u1, u2…, ur, а их совокупность обозначим одной буквой, положив u = (u1, u2…, ur). Здесь u есть вектор, компоненты которого определяют положение рулей. Таким образом, движение самолёта описывается не уравнениями (1), а уравнениями