Формулирую теперь то решение, которое было получено нами для задачи на быстродействие. Вводятся вспомогательные величины ψ1, ψ2…, ψn числом n, совокупность которых обозначается одной буквой ψ = (ψ1, ψ2…, ψn). Составляется вспомогательная величина
Сразу видно, что величина H зависит от трёх векторов: ψ, x и u. Новая вспомогательная величина (4) была обозначена через H потому, что нужные для нас уравнения, получаемые из неё, очень похожи на уравнения Гамильтона, всем известные из механики. Они суть следующие:
Полученная система дифференциальных уравнений (5) состоит из 2n уравнений. В них входят неизвестные функции x1, x2…, xn, ψ1, ψ2…, ψn, u1, u2…, ur, то есть число неизвестных функций равно 2n + r. Таким образом, система эта неполна. Решать её невозможно. Однако эта система уравнений дополняется одним условием. Управляющий вектор u должен выбираться так, чтобы при любых фиксированных значениях ψ, x функция H(ψ, x, u) достигала своего максимума при этом значении u. Дополненная этим условием система уравнений (5) уже является полной, и именно эта система соотношений должна решаться при отыскании оптимального по быстродействию решения задачи.
Этот результат был назван принципом максимума. Задача на оптимизацию какой-либо другой величины, а не времени, например расхода горючего, решается очень похожим образом. Здесь я не формулирую её решения. Целью движения объекта мы считаем определённое его фазовое состояние x, то есть прибытие точки в определённое место с определённой скоростью. Принцип максимума годен, однако, и для решения других задач, например целью может служить прибытие в определённое место с произвольной скоростью.
Если управляющий вектор u может принимать произвольные значения, а не связан условием принадлежности к множеству Ω, то из условия максимальности функции H(ψ, x, u) по переменному u следует, что все частные производные этой функции по переменным u1, u2…, ur равны нулю, то есть должны быть выполнены r соотношений
Этот результат вытекает из общих результатов классического вариационного исчисления, но в такой форме он никогда не был сформулирован, так как в классическом вариационном исчислении вообще не рассматривались управляемые объекты. Следует отметить также, что и в случае произвольно меняющегося u соотношение (6) слабее, чем условие максимальности H по u.
Дадим теперь решение одной очень простой задачи оптимизации на быстродействие, которое можно получить при помощи принципа максимума, но невозможно получить методами классического вариационного исчисления.
Рассмотрим математический маятник, то есть движение некоторой точки по прямой, которая притягивается к некоторой фиксированной точке 0 этой прямой с силой, пропорциональной расстоянию до неё. Прямую, по которой движется точка, примем за ось абсцисс, а точку 0 — за начало координат. Координату движущейся точки обозначим через х. Тогда уравнение движения этой точки запишется в виде
где x″ есть вторая производная координаты x по времени, то есть ускорение движущейся точки. Одно уравнение (7) можно переписать в виде двух уравнений первого порядка
