Здесь u и v — векторы пространства R. В нашей задаче они являются управляющими векторами. Их можно выбирать произвольными по направлению, но они ограничены по длине, а именно, для них выполнены условия |u| ≤ ρ, |v| ≤ σ. Числа α, β, ρ, σ положительны. Таким образом, уравнение (10) описывает движение точки x с линейным трением α под действием внешней силы u, которая может быть выбрана произвольной по направлению, но не превосходит по величине числа ρ. Аналогичное верно и для точки y. Процесс преследования можно рассматривать с двух точек зрения. При первой точке зрения мы отождествляем себя с преследователем. Наша задача заключается тогда в завершении преследования путём выбора надлежащего управления u. При этом в процессе преследования мы всё время наблюдаем за поведением уходящего объекта. При второй точке зрения мы отождествляем себя с убегающим объектом и наша задача состоит в том, чтобы уйти от преследования, выбирая надлежащим образом управление v. При этом мы всё время наблюдаем за преследующим нас объектом. Основной результат, имеющийся здесь, следующий.
1. Задача преследования всегда может быть решена положительно, то есть преследование завершено, если выполнены два неравенства
2. Задача убегания имеет всегда положительное решение, если выполнено неравенство σ > ρ.
Оказывается, что при решении задачи преследования в случае, когда выполнены условия (11), мы всегда имеем наилучший способ поведения преследователя, то есть имеется единственное оптимальное управление преследователя u(t), отклонение от которого неизбежно увеличивает время преследования. При этом оптимальное управление преследователя u(t) определяется постепенно с возрастанием времени t в зависимости от поведения убегающего объекта.
О математике и качестве её преподавания
Моё внимание привлекло в школьном учебнике определение вектора.
Вместо общепринятого и наглядного представления о нём как о направленном отрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в «Политехническом словаре», М., «Советская энциклопедия», 1976, с. 71) школьников заставляют заучивать следующее: «Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (A, B) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка M отображается на такую точку M1, что луч MM1 сонаправлен с лучом AB и расстояние |MM1 | равно расстоянию |AB|» (В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. 6-е изд. М., «Просвещение», 1980, с. 42).
В этом сплетении слов разобраться нелегко, а главное — оно бесполезно, поскольку не может быть применено ни в физике, ни в механике, ни в других науках.
Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость? Нет, замена в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложнённые, оказывается, вызвана стремлением… усовершенствовать (!) преподавание математики.
Если бы приведённый мною пример был только досадным исключением, то ошибку, по-видимому, легко можно было бы устранить. Но, на мой взгляд, в подобное состояние, к сожалению, пришла вся система школьного математического образования…
Однако прежде, чем об этом говорить, целесообразно высказать предварительные замечания о самой математике. Значение её на наших глазах возрастает, своими приложениями она охватывает всё новые области познания и практики. Одновременно происходит стремительный прогресс и в ней самой. Возникнув некогда как сугубо прикладная наука и имея своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира — то есть весьма реальный материал, — в ходе своего развития математика принимала всё более абстрактную форму, которая в известной степени затушевывала её «земное» происхождение. Ведь чтобы исследовать названные формы и отношения в чистом виде, приходилось мысленно отделять их от содержания, оставляя его в стороне как нечто безразличное. На это не случайно указал Ф. Энгельс в своей гениальной работе «Анти-Дюринг».