Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим

Таким образом, в каждой точке x многообразия M^k построены n линейно независимых векторов v₁(x)…, v_n(x). Ортонормируя систему векторов v₁(x)…, v_n(x), мы получим ортонормированную систему векторов w₁(x)…, w_n(x) в каждой точке х многообразия M^k. Многообразие M^k, в каждой точке которого задана ортонормальная система векторов, ортогональных к нему, я назвал оснащённым многообразием. В том случае, когда многообразие A представляет собой сферу S^n+k, оснащённое многообразие M^k однозначно определяет гомотопический класс отображений, из которого оно возникло при помощи точки p. От сферы S^n+k легко перейти к евклидову пространству E^n+k. Таким образом, проблему классификации отображений сферы S^n+k на сферу S n я свёл к проблеме изучения оснащённых многообразий M^k в евклидовом пространстве E^n+k. Нужно было посмотреть, что делается с оснащённым многообразием M^k, когда отображение f гладко деформируется. Это и было мною сделано.

Таким образом, я пришёл к проблеме изучения гладких многообразий M^k, расположенных в евклидовом пространстве E^n+k(заменяю здесь n на l) и для их изучения ввёл характеристические циклы многообразия M^k, гомологические классы. Дам здесь их определение.

В евклидовом пространстве E^k+1 проведём через некоторую точку O все k-мерные ориентированные плоскости размерности k и обозначим через H(k, l) многообразие, составленное из этих плоскостей. В каждой точке x многообразия M^k проведём касательную к нему плоскость Т_х. Обозначим через T(x) плоскость из многообразия H(k, l), параллельную плоскости T_x. Таким образом, возникает отображение T многообразия M^k в многообразие H(k, l). Это отображение я назвал тангенциальным отображением. Для многообразия H(k, l) я нашёл все циклы с точностью до гомологии. Если Z — некоторый цикл из H(k, l), то он высекает на многообразии T(M^k) некоторый цикл Y, прообраз которого Q в многообразии М^k и называется характеристическим циклом. Очень легко доказывается, что характеристические циклы не зависят от числа l при достаточно большом l и являются инвариантами гладкого многообразия M^k. Здесь имеются, конечно, в виду циклы с точностью до гомологий, т. е. классы гомологий, поэтому в дальнейшем они стали называться классами Понтрягина, а не циклами. В дальнейшем характеристические классы стали предметом изучения многих математиков и играли большую роль в топологии. Первая же важная проблема, которая связана с ними, заключается в следующем: легко доказывается, что характеристические классы являются инвариантами гладкого многообразия M^k; возникает вопрос, не являются ли они инвариантами самого топологического многообразия M^k? Эту задачу я пытался решить, но не сумел.