Начнем сразу с определения. Эллиптические кривые — это кривые вида y^2 =x^3 +ax+b . [В полях размера 2m («полях характеристики 2»; к ним относится и привычное программистам поле из двух элементов) определения становятся чуть более сложными, а стандартные доказательства и рассуждения перестают работать; в алгебре и алгебраической геометрии случай характеристики 2 всегда стоит особняком и требует более изощренной техники, нежели все остальные. Поэтому в дальнейшем мы не будем его рассматривать]
Они занимают промежуточную нишу между коническими сечениями и кривыми более высоких порядков — про них известно не все, но многое. О том, что это серьезный объект для исследований, говорит хотя бы то, что именно теория эллиптических кривых привела Эндрю Уайлса к доказательству великой теоремы Ферма. Но нас будут интересовать куда менее эзотеричные материи.
Хотя примеры, изображенные на стр. 58, нарисованы на плоскости, то есть на множестве пар вещественных чисел (x, y), в криптографии все структуры, разумеется, должны быть дискретными. Поэтому решения уравнения ищутся над конечными полями. Чтобы конечное множество могло стать полем, его размер должен иметь вид p^m , где p — простое число. Конечное поле с простым количеством элементов (m=1) можно представлять как множество неотрицательных целых чисел, меньших p, в котором все алгебраические операции производятся «по модулю p» (то есть с переходом к остатку от деления результата на p). В криптографии используются конечные поля двух типов — с простым количеством элементов (m=1) и «поля характеристики два» (у которых 2 m элементов); мы ограничимся первым случаем. Кстати, термин «эллиптическая кривая» над конечным полем в изрядной степени теряет смысл — какая же это кривая, если это конечное множество точек? Но о терминах спорить — последнее дело, особенно в математике, где белая лошадь, в полном соответствии с Гунсунь Лун-цзы, может оказаться вовсе не лошадью.Ранее мы говорили, что сложность криптосистемы Диффи-Хеллмана связана с дискретным логарифмированием. Однако конструкция, аналогичная использованной в этой системе, может быть реализована над любым множеством, где есть похожая на умножение операция (например, сложение), подчиняющаяся своим естественным законам (такое множество называется в математике группой). Суть применения эллиптических кривых в криптографии сводится к тому, что группа чисел по простому модулю (как было в криптосистеме Диффи-Хеллмана) заменяется группой решений уравнения y^2 = x^3+ax+b. Осталось лишь указать, как складывать друг с другом решения такого уравнения.
На плоскости это делается так, как показано на рисунке выше. Чтобы сложить две точки на эллиптической кривой, нужно провести через них прямую. Она пересечет кривую в третьей точке. Эту третью точку мы будем считать суммой первых двух со знаком минус; чтобы получить собственно сумму, отразим полученную точку относительно оси X. Можно проверить, что такое сложение будет ассоциативным. Остается только один вопрос: что делать, когда третьей точки нет? Например, если нужно сложить точку с самой собой, то для этого нужно провести касательную в этой точке. Если мы проведем касательную в точке (0, 0), она будет направлена вертикально вверх; казалось бы, никакой третьей точки уже не получится. Это затруднение решается просто: к множеству решений эллиптического уравнения добавляют еще одну точку O, о которой проще всего думать как о бесконечности (бесконечные значения x и y действительно удовлетворяют уравнению). Сумма двух точек (0, 0) в нашем примере будет равна O. O играет роль нуля в этом своеобразном сложении. Мы уже говорили, что обратный элемент получится, если отразить точку относительно оси X; если теперь соединить прямой точку и ее обратную, прямая будет вертикальной, и третьей точкой как раз будет бесконечность:
P+(—P)=O.
Над конечными полями таких картинок не нарисуешь, но если выразить эти операции алгебраически, то все сойдется.
Вот, собственно, и все. Эллиптический аналог криптосистемы Диффи-Хеллмана выглядит так. Алиса и Боб выбирают (и сообщают всем) эллиптическую кривую, поле и точку B, лежащую на этой кривой. Затем Алиса секретно выбирает число a и подсчитывает точку aB (складывает B с самой собой a раз), а Боб выбирает число b и вычисляет bB. Затем они обмениваются полученными результатами, и их общим секретным ключом становится точка abB. Чтобы взломать этот шифр, нужно научиться по aB и B вычислять a — это в точности аналог дискретного логарифмирования!