Мы когда-то писали о задачах-вызовах, за решение которых обещаны призы в миллион долларов. Как вы считаете, такие вызовы стимулируют развитие науки или только спортивную ее сторону?
- Есть два типа жизни в математике. Два способа мышления. Вызовы, знаменитые проблемы, которые многие хотят решить, привлекают людей определенного склада ума, их можно назвать великими спортсменами. Они хотят выиграть. Хотят получить золото. Но есть и те, кто стремится открывать неизвестные острова, материки. Такие люди делают работы, нацеленные не на решение проблем, а на открытие новых направлений. И то и другое замечательно, и то и другое стимулирует развитие науки.
Можно ли привести недавние достижения, относящиеся ко второму типу?
- Я бы назвал пионерские работы по теории узлов (см. врезку. - Л.Л.-М.). Возник новый язык, открыты многочисленные и очень интересные инварианты узлов - полином Джонса, инвариант Васильева. Проблема классификации узлов пока не решена. Но открыт новый мир, мир инвариантов, которые управляют узлами, и сейчас этим миром занимаются ради него самого. Жизнь в этом мире необычайно увлекательна, изучать инварианты так интересно, что люди занимаются ими, даже не будучи уверены в том, что проблема классификации будет решена. К тому же эта область имеет массу приложений, в первую очередь в физике. Надо сказать, что все по-настоящему глубокие вещи в математике так или иначе связаны с какими-то соображениями из математической физики.
Значит, наибольший толчок развитию математики дает именно физика? Или компьютерный мир тоже?
- Полагаю, что и физика, и компьютерный мир. Физика мне ближе, я все-таки занимаюсь сейчас гамильтоновыми системами и вижу массу новых идей, возникающих из приложений в физике и механике. Второе, что я вижу, - в компьютерном мире (понимаемом широко) возникает очень много идей, которые важны для фундаментальной математики. Я бы назвал еще и биологию как важный источник задач для современной математики. Но это лишь то, что связано с моими собственными научными интересами.
Над чем вы сейчас работаете?
- Над проблемой интегрирования гамильтоновых систем дифференциальных уравнений (эти системы возникают в огромном количестве задач классической механики и других областей физики. - Л.Л.-М.). Недавно мы с моими сотрудниками открыли новые инварианты таких систем, позволяющие их классифицировать. Есть известная прикладная задача: даны две системы дифференциальных уравнений, описывающие какие-нибудь процессы, вопрос - эквивалентны ли эти системы? Может быть, на самом деле процесс один и тот же, просто уравнения записаны в разных системах координат? Желательно иметь такие инварианты, которые можно вычислить для каждой из систем и посмотреть: если инварианты совпали, то системы эквивалентны, не совпали - не эквивалентны. Вот такие инварианты мы нашли несколько лет тому назад - это графы с некоторыми метками. Они применимы к разным классам систем, в первую очередь к динамике твердого тела - к движению твердого тела в жидкости, в том числе намагниченной, к движению тела с полостями, тела с неголономными связями. В частности, мы с А. Болсиновым доказали теорему об эквивалентности двух известных систем уравнений: движения твердого тела (случай Эйлера с закрепленной точкой) и динамики геодезических на эллипсоиде. Причем там очень тонкий эффект - эквивалентность есть, но ее нельзя сделать гладкой.
В отличие от функций Морса и гомологий, теория узлов имеет дело не с многомерными абстракциями, а с узлами в самом прямом житейском смысле слова - заплетенными веревками со связанными концами. До сих пор никому не удалось найти алгоритм, определяющий, одинаковы ли два заданных узла - то есть можно ли один из них превратить в другой, не разрывая и не развязывая веревку. Если бы мы жили в плоскости, никаких узлов у нас бы не было - их в плоскость не засунешь. В четырехмерном пространстве любой узел можно превратить в обычное колечко, а его потом - в любой другой узел, так что вопрос снимается. Но вот в нашем 3D узлы оказались настолько запутанными, что вокруг них образовалась целая наука - как теперь выясняется, имеющая прямой выход в квантовую теорию поля. На рисунке - сложный на вид узел, но - кто бы мог подумать! - это лишь иллюзия, перед нами обычное, незаузленное кольцо.
Что сейчас мотивирует студентов мехмата? Они нацелены именно на науку или просто хотят получить хорошее образование, престижный диплом, чтобы затем заняться чем-нибудь другим?
- Как всегда - далеко не все видят себя будущими учеными.
Как всегда? То есть радикальных изменений вы не замечаете?