Подсказки богини Наматжири
Иногда такие сомнения находят свое интереснейшее выражение. История индийского математика Сринивасы Рамануджана (1887—1920) показывает, что природа человеческого гения чрезвычайно разнообразна, даже там, где присутствуют жесткие нормы мышления. Стараниями известного английского математика Годфри Харди способный молодой человек из Индии попал в Англию, где проявил себя в качестве одной из самых примечательных фигур в теории чисел. Его результаты были неожиданными и красивыми, но по характеру творчества он радикально отличался от других математиков. Он не знал, что такое доказательство. Его результаты были итогом чисто интуитивного прозрения и часто приходили во сне: ему диктовала их богиня Наматжири. Поразительно было как то, что большинство его формул оказывались верными, так и то, что иногда богиня ошибалась. При этом формулы были воистину красивыми и загадочными.
Мы уже упоминали о том, что натуральные числа есть просто «места» в структуре — натуральном ряду. Но это более или менее современная точка зрения. Ранее, например в Античности, процветала нумерология, в которой отдельным числам приписывались магические свойства. Эти представления широко используются и в нынешних оккультных сочинениях и обрядах. Видимо, были такие времена в истории ранних цивилизаций, когда числа воспринимались как индивидуальные объекты точно так же, как мы распознаем отдельных людей. Что-то в этом спорном положении подтверждается историей с Рамануджаном. Он «знал» числа напрямую, как своих знакомых. Много раз описан разговор Харди с лежащим в больнице Рамануджаном. «Я ехал в такси с ничем не примечательным номером — 1729», — начинает посетитель «пустой» разговор с больным. «Нет, Харди, ты неправ, — отвечает Рамануджан. — Это очень интересное число. Это наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами». Создается впечатление, что Рамануджан знает числа непосредственно, «лично». В этом отношении существуют восхитительные спекуляции по поводу «феномена» Рамануджана. В одной из популярных книжек было высказано предположение, что математика сейчас есть функция левосторонней части мозга, которая определяет аналитические способности человека. Но вполне возможно, что в период, когда доминирующей была правосторонняя часть мозга, ответственная за чувственные восприятия, человек познавал «непосредственно». И тогда можно предположить, что Рамануджан являлся «осколком» той древней цивилизации, которая развивала математику совсем по другому пути. Но эта романтическая догадка так и остается догадкой.
Сриниваса Айенгор Рамануджан (1887—1920), не имея специального математического образования, получил множество неожиданных и красивых формул, о которых говорили, что ни у кого другого не «хватило бы воображения, чтобы их изобрести». Фото: SPL/EAST NEWS
Большое доказательство
Итак, дедуктивное доказательство есть единственно убедительное свидетельство существования математических объектов и истинности математических утверждений. И коль скоро речь идет об убедительности — ведь доказательство представляет собой аргумент, — есть все основания полагать его «рукотворным». Дело в том, что убедительная аргументация должна быть обозримой. Американский математик Хао Ван заметил как-то, что если доказательство изложено на паре сотен страниц и каждая страница убедительна в отдельности, то в любом случае трудно представить, что в голове эти две сотни страниц могут уложиться в их взаимосвязи. Ясно, что при этом математики ищут выход в том, что укрупняют фрагменты доказательства, делая весь ход мысли более понятным. Но что можно сказать о доказательстве теоремы, которое изложено на 15 000 страниц? Можно ли прочесть такое доказательство? Можно ли считать его убедительным аргументом? Но такой аргумент существует — это доказательство теоремы о том, что обнаружены все простые конечные группы (подробнее об этой теореме и связанном с ней кризисе рассказывается в статьях Д. Горенстейна и Б. Дэвиса). Естественно, такой труд не под силу одному человеку, и в доказательстве принимали участие более 100 математиков. Полное доказательство разбросано по страницам 500 журналов, выходивших на протяжении 40 лет.
Можно ли считать такое доказательство обозримым? Способен ли хоть кто-то охватить его в целом умственным взором? В результате постижения доказательства математик получает уверенность в утверждении теоремы. Насколько сильна эта уверенность в случае огромных многотомных доказательств? Эти сомнения усугубляются еще и чисто прагматическим обстоятельством. Представим себе, что некий математик объявил о доказательстве труднейшей теоремы, но проверка этого результата требует многолетних усилий целого коллектива. Готов ли кто-нибудь надолго забросить свои исследования для того, чтобы проверять правильность чужих?
И все же то, что доказано одним человеком или сотней людей, в принципе можно и проверить усилиями одного человека или сотни людей. Но ситуация с обозримостью и понятностью резко осложняется с появлением в математической практике компьютерных доказательств. История эта началась с теоремы о четырех красках. Она формулируется чрезвычайно просто: для раскраски любой карты на сфере или плоскости так, чтобы никакие две соседние страны не были окрашены одинаково, достаточно четырех цветов. Начиная с середины XIX века было сделано множество попыток справиться с этой теоремой, но удалось это только в 1976 году американским математикам Апелю и Хакену. Одна беда: решающая лемма в доказательстве обосновывалась с помощью компьютерных вычислений, для которых потребовалось 1200 часов машинного времени, по большей части для проверки различных конфигураций.
Вероятно, доказано...
Сама идея компьютерного доказательства вызвала большие споры в математическом сообществе и не меньшие споры в философском. Дело в том, что компьютер представляет собой физическую машину, которая может дать сбой. А проверить «вручную» то, что делает программа, человеку не под силу. Таким образом, как признают сами авторы компьютерного доказательства, теорема обоснована с вероятностью 0,999… Но априорное знание, каким его полагал Платон, не может быть вероятностным. Да и многие математики, не обращающие внимания на философию, также не приемлют идею вероятности доказательства. Теорема либо доказана, либо нет! Доказательство есть результат озарения, а не механического действия машины. Компьютерное обоснование по большей части невозможно проверить «с карандашом и бумагой». Если даже распечатать все программы и все используемые данные, которые займут очень много страниц труднопостижимого текста, не будет никакой гарантии, что данные эти были напечатаны правильно или же правильно прочитаны. К тому же любой компьютер имеет скрытые дефекты — как в программах, так и в «железе», — которые иногда приводят к серьезным ошибкам. И у любого компьютера возможны спонтанные сбои, которые хотя и редки, но тем не менее случались в ходе компьютерных доказательств.
Теорема о четырех красках уже не единственная, доказанная с помощью компьютера. Так что мы приходим к ситуации, когда все теоремы можно будет разделить на четыре категории: доказываемые устно, требующие карандаша и бумаги, требующие вдобавок больших усилий и времени и, наконец, те, которые можно доказать только с помощью компьютера.
Если доказательство является решающим свидетельством в пользу существования математических объектов и фактов, то в свете приведенной классификации теорем трудно отдать предпочтение какой-либо одной традиционной точке зрения на природу математических сущностей: эмпиризму, платонизму или интуиционизму, о которых говорилось в начале статьи.
Ситуация меняется с появлением в математической практике компьютеров, а также чрезвычайно трудоемких «человеческих» доказательств, представляющих собой результат коллективного творчества. Мир математики поражает огромным разнообразием своих объектов и удивительными связями между различными областями. Красота математических рассуждений и определенность достигаемых результатов есть результат творчества человеческого ума. Но, несмотря на весь прогресс науки, перед математиками по-прежнему стоит вечный вопрос: является ли их творчество свободным полетом человеческого гения или же проникновением в тайную структуру окружающего нас мира?