Греки использовали в своих задачах хорду угла (см. рисунок). Гиппарх в 140 г. до н. э. составил первую таблицу хорд и пользовался ею как в плоской, так и в сферической тригонометрии. Последняя имеет дело с треугольниками, образованными дугами больших кругов на сфере, и это важно в астрономии, поскольку звезды и планеты при наблюдении с Земли кажутся лежащими на небесной сфере – воображаемой сфере, в центре которой находится Земля. Точнее говоря, направления на эти тела соответствуют точкам на любой подобной сфере. Во II в. Птолемей включил таблицы хорд в свой «Альмагест», и его результаты широко использовались на протяжении следующих 1200 лет.
Математики Древней Индии, опираясь на работы греков, добились больших успехов в тригонометрии. Они обнаружили, что удобнее использовать не хорды, а тесно связанные функции синуса (sin) и косинуса (cos), которыми мы пользуемся и сегодня. Синусы впервые появились в «Сурья сиддханта» – серии индийских астрономических текстов, датируемых примерно 400 г.; Ариабхата около 500 г. развил эту идею в своем труде «Ариабхатия». Аналогичные идеи возникли независимо и в Китае. Индийскую традицию продолжили Варахамихира, Брахмагупта и Бхаскара Ачарья, в работах которых имеются полезные аппроксимации функции синуса и некоторые базовые формулы, такие как
sin2θ + cos2θ = 1
у Варахамихиры; по существу, это тригонометрическая интерпретация теоремы Пифагора.
До недавнего времени ученые считали, что после Бхаскара Ачарья в индийской математике наступил застой, во время которого ученые ограничивались лишь комментариями к классическим работам, и лишь после того, как Британия присоединила Индию к своей активно развивающейся империи, там появилась новая математика. Возможно, это было правдой в отношении значительной части Индии, но не в отношении Кералы. Джозеф отмечает, что «качество математики, доступной в текстах [Керальской школы] … настолько высокого уровня в сравнении с тем, что было достигнуто в классический период, что кажется невозможным, чтобы одно произошло от другого». Однако сколько-нибудь сравнимые идеи появились лишь несколькими столетиями позже в Европе, так что никакого правдоподобного «недостающего звена» разглядеть не удается. Достижения Керальской школы, судя по всему, были ее собственными.
Комментарий Естхадевы «Юктибхаса» так описывает ряд, приписываемый Мадхаве:
Первый член есть произведение заданного синуса и радиуса искомой дуги, деленного на косинус этой же дуги. Последующие члены получаются методом повторений, когда первый член последовательно умножается на квадрат синуса и делится на квадрат косинуса. Все члены затем делятся на нечетные числа 1, 3, 5, … Дуга получается прибавлением и вычитанием соответственно членов с нечетными номерами и членов с четными номерами.
В современной нотации и с учетом того, что тангенс угла θ равен синусу этого угла, деленному на его же косинус, получаем
Это (если записать в терминах арктангенса) и есть то, что мы на Западе называем рядом Грегори, его открыл в нашей цивилизации Джеймс Грегори в 1671 г. или, возможно, чуть раньше. Согласно трактату «Махаджьянаяна пракара» («Методы для больших синусов»), Мадхава использовал этот ряд для вычисления π. Особый случай (θ = π/4 = 45°) приведенного ряда дает бесконечный ряд для π – первый пример рядов такого типа.
Это не слишком практичный способ вычислить число π, поскольку члены ряда убывают очень медленно и нужно пройти громадное число слагаемых, чтобы получить хотя бы несколько очередных десятичных знаков. Приняв вместо этого θ = π/6 = 30°, Мадхава вывел вариант ряда, который сходится быстрее:
Он вычислил первый 21 член ряда и получил π с точностью до 11 знаков после запятой. Этот ряд стал первым новым методом вычисления π после Архимеда, использовавшего все более близкие по форме к окружности правильные многоугольники.
Один из приемов Мадхавы удивительно хитроумен. Мадхава оценил ошибку, возникающую при усечении ряда на некотором конечном этапе. Мало того, он привел три выражения для ошибки, которые можно прибавлять к общему значению в качестве корректирующего члена для повышения точности. Вот его выражения для ошибки после сложения n членов ряда: