В рассуждении «О касательных к кривым» 1679 г. Ферма находил касательные к различным кривым, то есть занимался геометрической версией дифференциального исчисления. Его метод нахождения максимума и минимума был еще одним предвестником математического анализа. В оптике он сформулировал принцип наименьшего времени: световой луч следует по тому пути, который минимизирует общее время движения. Это был один из первых шагов к вариационному исчислению – области анализа, которая занимается поиском кривых или поверхностей, минимизирующих или максимизирующих некоторую величину. К примеру, какая замкнутая поверхность фиксированного объема имеет наименьшую площадь поверхности? Ответ – сфера; именно поэтому мыльные пузыри имеют сферическую форму, ведь энергия поверхностного натяжения пропорциональна площади поверхности, а пузырь принимает форму, соответствующую минимальной энергии.
В аналогичном ключе Ферма полемизировал с Декартом по поводу закона преломления световых лучей. Декарт, раздраженный, вероятно, тем, что лавры за геометрические координаты достались оппоненту, хотя сам он считал координаты своим изобретением, отозвался критикой в адрес работы Ферма о максимумах, минимумах и касательных. Диспут получился настолько жарким, что в него в качестве арбитра оказался втянут инженер и геометр-новатор Жерар Дезарг. Когда он объявил, что прав Ферма, Декарт неохотно признал: «Если бы вы объяснили это таким образом с самого начала, я бы и возражать не стал».
Величайшее наследие Ферма относится к теории чисел. В его письмах можно найти множество вызовов для математиков. Среди них предложение доказать, что сумма двух полных кубов не может быть полным кубом; решить уравнение, получившее неудачное название «уравнение Пелля», nx2 + 1 = y2, где n – заданное натуральное число, а найти нужно натуральные числа x и y. Леонард Эйлер ошибочно приписал решение, найденное лордом Брукнером, Джону Пеллю. На самом же деле метод его решения содержится еще в трактате «Брахма-спхута-сиддханта» – «Усовершенствованное учение Брахмы» Брахмагупты, – относящемся к 628 г.
Одна из важнейших и красивейших теорем Ферма говорит о числах, которые можно выразить в виде суммы двух полных квадратов. Альберт Жерар впервые сформулировал утверждение по этой теме в работе, опубликованной посмертно в 1634 г. Ферма первым заявил, что нашел доказательство, написав об этом в письме к Мерсенну в 1640 г. Главное – решить эту задачу для простых чисел. Ответ зависит от типа простого числа в следующем смысле. Единственное четное простое число – 2. Нечетные числа представляют собой либо кратные 4 с добавлением единички, либо кратные 4 с добавлением 3 (то есть имеют вид 4k + 1 или 4k + 3). То же, разумеется, относится и к нечетным простым числам. Ферма доказал, что 2 и все простые числа вида 4k + 1 представляют собой суммы двух квадратов; с другой стороны, простые числа вида 4k + 3 не выражаются через сумму двух квадратов.
Если немного поэкспериментировать, об этом несложно догадаться. К примеру, 13 = 4 + 9 = 22 + 32, и 13 = 4 × 3 + 1. С другой стороны, 7 = 4 × 1 +3 и ясно, что сумма двух квадратов не может равняться 7. Однако доказать теорему Ферма о двух квадратах очень трудно. Простейшая часть – показать, что простые числа вида 4k + 3 не являются суммой двух квадратов; я покажу вам, как это сделать, в главе 10 при помощи фокуса, который Гаусс придумал для систематизации базового метода теории чисел. Показать, что простые числа вида 4k + 1 выражаются в виде суммы двух квадратов, намного сложнее. Доказательство Ферма до нас не дошло, но известны доказательства, сделанные с использованием доступных ему методов. Первое известное нам доказательство дал Эйлер; он объявил о нем в 1747 г., а опубликовал в двух статьях в 1752 и 1755 гг.
Общий вывод таков: натуральное число представляет собой сумму двух квадратов в том, и только том случае, если все простые множители вида 4k + 3 появляются в нем в четных степенях при разложении числа на простые множители. К примеру, 245 = 5 × 72. Множитель 7 имеет вид 4k + 3, но появляется при разложении дважды, то есть входит в число в четной степени; следовательно, 245 представляется в виде суммы двух квадратов. В самом деле, 245 = 142 + 72. Наоборот, 35 = 5 × 7, и множитель 7 появляется здесь лишь однажды, так что 35 не выражается в виде суммы двух квадратов. Этот результат может показаться случайной, ни с чем не связанной диковинкой, но именно от него взяли начало несколько линий исследований, приведшие в конечном итоге к созданию масштабной теории квадратичных форм Гаусса (глава 10). В наше время эту линию рассуждений провели намного дальше. Родственная теорема, доказанная Лагранжем, утверждает, что любое натуральное число представляет собой сумму четырех квадратов (квадрат 0 = 02 разрешен). Это утверждение тоже имеет важные и обширные следствия.