Как и в случае подобных прямоугольников, существует простой и быстрый способ узнать, является ли прямоугольник «золотым», без измерения его сторон. Возьмем два одинаковых прямоугольника и поместим их рядом друг с другом, один горизонтально, другой вертикально, как на следующем рисунке слева. Затем мы проведем линию через вершины А и В, как показано на рисунке справа. Если эта прямая проходит точно через вершину С, то мы имеем два «золотых» прямоугольника одинакового размера.
Как можно объяснить этот факт? По теореме Фалеса, если две параллельные прямые пересекают две стороны треугольника, то они отсекают пропорциональные отрезки. На втором рисунке мы видим, что АВ будет проходить через С, когда
AD/DB = АЕ/ЕС.
Однако если мы подставим значения для каждой из этих сторон, то получим: (М + m)/М = М/m.
И снова мы видим уравнение (4), определяющее Ф.
Если у нас имеется «золотой» циркуль (см. ниже), достаточно раздвинуть короткие ножки циркуля на расстояние, равное ширине прямоугольника, а затем проверить, совпадает ли расстояние между длинными ножками циркуля с длиной прямоугольника. Если это так, то прямоугольник является «золотым».
КАК СДЕЛАТЬ «ЗОЛОТОЙ» ЦИРКУЛЬ
«Золотой» циркуль — это простой инструмент, который легко сделать самому. Он нужен для построения отрезков, разделенных в «золотом» отношении, или для проверки такой пропорции.
Существуют различные способы сделать «золотой» циркуль. Вот самый простой из них. Возьмем две заостренные на концах полоски картона, пластика или фанеры, шириной 2 см и длиной 34 см. Проделаем в них отверстия на расстоянии 13 см от одного из концов.
Соединим обе полоски через эти отверстия так, чтобы они могли поворачиваться. Обычная кнопка вполне для этого подойдет. Раздвинув полоски, мы получим два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами 21 и 13 см соответственно. Так как это два последовательных числа из последовательности Фибоначчи, их отношение близко к Ф. Отношение расстояния между длинными ножками циркуля к расстоянию между короткими ножками циркуля также будет Ф.
Циркуль очень прост в использовании. Чтобы убедиться, что два отрезка находятся в «золотой» пропорции, нужно раздвинуть короткие ножки циркуля на расстояние, равное длине меньшего отрезка, и, не меняя положения циркуля, измерить длинными ножками длину большего отрезка. Если его длина равна расстоянию между длинными ножками циркуля, то два отрезка находятся в «золотой» пропорции.
Второй способ построения «золотого» циркуля более сложен, но более точен, так как позволяет работать и с крайним, и со средним отношением одновременно. Нам потребуются четыре узких полоски 1 см в ширину. Две из них длиной 34 см, одна — 21 см, а четвертая — 13 см. Проделаем два отверстия в каждой из них: одно на конце полоски, а второе — на расстоянии 13 см, как на рисунке справа. Затем мы соединим полоски как показано на рисунке.
У нас получились следующие отрезки:
AF = АН = 34 см
BG = 21 см
АВ = АС = ВЕ = СЕ = 13 см
EG = 8 см.
Все эти числа — члены последовательности Фибоначчи. При работе с циркулем отношение FG к GH всегда будет очень близко к Ф. Если мы поставим ножки циркуля F и Н на концы отрезка (до 68 см в длину), точка G покажет место, где отрезок делится на две части М, m, такие, что М/m = Ф.
Построение «золотого» прямоугольника
Теперь наша задача будет гораздо проще. Для построения «золотого» прямоугольника мы используем все свойства, о которых говорилось выше.
Начнем с квадрата АВCD, чья сторона будет шириной «золотого» прямоугольника, который мы будем строить. Отметим точку М — середину стороны АВ. Проведем дугу окружности с центром в точке М и радиусом МС (расстояние от М до одной из противоположных вершин). Эта дуга пересекается с продолжением отрезка АВ. Обозначим это пересечение точкой Е. Тогда длина отрезка АЕ является длиной искомого «золотого» прямоугольника. Нам осталось только провести перпендикуляр из точки E, который пересекает продолжение отрезка DC в точке F. Таким образом, мы построили «золотой» прямоугольник AEFD.