Давайте найдем длины сторон «золотого» прямоугольника, который мы построили, чтобы проверить «золотое» сечение. Предположим, что АВ = AD = 1, тогда АЕ = AM + ME = 1/2 + ME. Так как ME равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника MBС, по теореме Пифагора мы имеем:
ME2 = МС2 = MB2 + ВС2 = (1/2)2 + 12 = 1/4 + 1 = 5/4.
Откуда
ME = √(5/4) = (√5)/2.
Следовательно:
AE = (1/2) + (√5)/2 = (1 + √5)/2 = Ф.
Это значит, что стороны прямоугольника AEFD равны 1 и Ф.То есть наш прямоугольник действительно является «золотым».
Свойства «золотого» прямоугольника
Если отрезать от нашего «золотого» прямоугольника квадрат, то останется прямоугольник BEFC, который также является «золотым». Проведя диагонали в двух «золотых» прямоугольниках, мы увидим, что они всегда пересекаются под прямым углом. Это справедливо как для пары AF и СE, так и для пары DE и BF (диагонали в каждой паре перпендикулярны друг к другу).
Мы видим это на следующих рисунках:
Если мы продолжим отрезать квадраты от каждого следующего «золотого» прямоугольника и каждый раз будем проводить диагонали, как на рисунке выше, мы увидим, что все получившиеся диагонали будут лежать на одной из пересекающихся под прямым углом диагоналей. Таким образом, они всегда будут перпендикулярны, а точка их пересечения всегда будет одной и той же точкой О.
Если бы мы могли использовать микроскоп, чтобы увидеть все прямоугольники, которые могут быть образованы путем удаления квадратов, мы бы заметили, что точка пересечения их диагоналей всегда одна и та же, хотя мы уменьшаем размер прямоугольника в Ф раз. Это невероятное свойство характерно для «золотого» прямоугольника. Точка О является своего рода геометрической черной дырой, точкой притяжения, куда уходит бесконечная последовательность «золотых» прямоугольников.
Если мы впишем в окружность правильный десятиугольник (многоугольник с десятью равными сторонами, углы которого также равны), отношение между радиусом и стороной многоугольника будет точно Ф.
Следовательно, мы можем сказать, что длина «золотого» прямоугольника является радиусом окружности, а ширина равна стороне правильного десятиугольника, вписанного в эту окружность. В третьей главе мы подробно рассмотрим это соотношение.
ПРАВИЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все углы равны. Лишь одного из этих условий недостаточно. Ромб, например, имеет равные стороны, но его углы не равны, поэтому он не является правильным многоугольником. Из всех четырехсторонних многоугольников только квадрат является правильным. Прямоугольник имеет четыре равных угла по 90°, но стороны разной длины, поэтому он также не является правильным многоугольником.
Многоугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности. Если это правильный многоугольник с n сторонами, мы можем построить равнобедренный треугольник, соединив центр окружности с двумя соседними вершинами многоугольника. Две равные стороны треугольника будут радиусами окружности. Третья сторона треугольника имеет ту же длину, что и у сторон многоугольника. Неравный угол треугольника (также называемый центральным углом) равен (360/n)°.
Другие замечательные прямоугольники
Как мы видели на странице 51, прямоугольники телеэкранов (4:3 и 16:9) замечательны тем, что часто встречаются в нашей повседневной жизни. Теперь рассмотрим другие прямоугольники, с которыми мы сталкиваемся каждый день, и сравним их с «золотыми» прямоугольниками, чтобы еще раз подчеркнуть уникальность прямоугольников с форматным отношением Ф.
Прямоугольник с отношением √2
Построим квадрат ABCD со стороной 1. Затем проведем дугу окружности с центром в одной из вершин квадрата (в этом примере в точке А) и радиусом, равным расстоянию между этой вершиной и противоположной (АС). Дуга пересекает продолжение отрезка АВ в точке Е. Длина отрезка АЕ, будучи равной длине диагонали квадрата 1x1, равна √2, и, следовательно, прямоугольник, который мы построили, имеет стороны 1 и √2. Далее мы будем называть прямоугольники этого типа прямоугольниками с отношением √2 (так как отношение между сторонами √2 и 1 равно √2).