Спираль и ее свойства вызывали интерес у многих выдающихся математиков. Якоб Бернулли (1654–1705) был особенно очарован спиралями, которым он посвятил многие годы исследований. Это его увлечение привело к тому, что он даже завещал выгравировать спираль на его могиле, вместе с надписью Eadem mutato resurgo, что означает «Изменяясь, я воскресаю неизменным». Однако несмотря на строгие инструкции, гравер не смог воспроизвести логарифмическую спираль, а изобразил серию дуг, к которым слова Бернулли неприменимы.
Спираль является такой кривой линией, форма которой не меняется при изменении размера. Это свойство называется самоподобием.
Другим важным свойством спирали является равноугольность: если провести прямую линию от центра спирали, точки ее возникновения, к любой другой точке, углы пересечений с кривой всегда будут одинаковыми. Поэтому, если мы хотим наблюдать точку под постоянным углом, мы должны двигаться вокруг нее по траектории, которая является логарифмической спиралью. Она также известна как геометрическая спираль, так как длина радиус-вектора — отрезка, соединяющего центр с точкой на спирали — увеличивается в геометрической прогрессии, в то время как угол, образованный радиус-вектором, увеличивается в арифметической прогрессии.
Строго говоря, кривая, которую мы только что построили в наших «золотых» прямоугольниках, не является спиралью, так как она образована дугами разных окружностей, соединенных между собой искусственно, но она приближена к логарифмической спирали. Спираль не касается четвертинок окружностей, а пересекает их, пусть и под очень малым углом. Настоящая логарифмическая спираль выглядит следующим образом:
Если мы будем выполнять те же построения, но добавим изменения по высоте, то получим трехмерную спираль, как показано на следующем рисунке:
Свойства спирали привлекали не только ученых, но и художников.
Работа нидерландского художника Маурица Корнелиса Эшера (1898–1972), известного своими нереальными мирами, изображенными на картинах и мозаиках. Многие его работы основаны на математике. Эшер часто рисовал спираль, как это можно видеть на гравюре 1953 г., озаглавленной просто: «Спирали».
Мы еще не исчерпали все возможности спирали. По правде говоря, мы только начали знакомство с ней. Позже мы найдем ее в «золотых» треугольниках, а также во многих красивых природных объектах.
Глава 3
Золотое сечение и пятиугольник
Ассирийцы рисовали пятиугольники самым обычным образом: раздвинув пальцы кисти руки и оставляя отпечатки пальцев на глине. Затем эти точки соединялись отрезками. Такие изображения часто встречаются на глиняных табличках. Однако построение пятиугольников было серьезной задачей для древних греков. По их мнению, единственным точным методом построения геометрических фигур было использование циркуля и линейки, но этих инструментов оказалось недостаточно, чтобы начертить правильный пятиугольник.
Правильный пятиугольник
Использование циркуля и линейки для геометрических построений, как это делали еще древние греки, является очень ограниченным методом. И некоторые ограничения представляются довольно причудливыми. Метод включает в себя рисование точек, прямых (или их отрезков) и частей окружности (или дуг) с использованием лишь циркуля и линейки неопределенной длины, без делений на ней. С помощью этих инструментов можно разделить отрезок пополам (провести перпендикуляр через его середину), построить биссектрису угла, найти точку, симметричную данной относительно другой, провести параллельную прямую или перпендикуляр в данной точке, а также найти проекцию точки на прямую линию. Также можно разделить любой отрезок на заданное число равных частей.
Однако существует ряд классических задач, известных тем, что они не могут быть решены лишь с помощью линейки и циркуля. Например, квадратура круга (построение квадрата с той же площадью, что и у данного круга), удвоение куба (построение куба, который имеет в два раза больший объем, чем данный куб с известной стороной) или деление угла на три равные части. Кроме того, невозможно построить некоторые правильные многоугольники, используя только циркуль и линейку, например, семиугольник и пятиугольник.
Тем не менее, правильный пятиугольник может быть построен с помощью линейки и циркуля с использованием Ф. Таким образом, число Ф внесло свой вклад в решение классических задач эпохи.