Выбрать главу

Символ пятиконечной звезды, известный как пентаграмма, служил тайным знаком пифагорейцев. Для них пентада, то есть число 5, олицетворяла здоровье и красоту, поскольку она была гармоничным сочетанием числа 2, первого четного числа, или диады, и числа 3, первого нечетного числа, или триады.

Пентаграмма — это геометрическая фигура, имеющая долгую историю в качестве символа тайных обществ. Она использовалась рыцарями ордена розенкрейцеров и часто встречается в эмблемах масонских лож.

Изображение пятиконечной звезды часто встречается в нашей повседневной жизни. Например, звезды на Голливудской «Аллее славы» в Лос-Анджелесе, а также эмблемы многих революционных групп.

Звезда — важный элемент на разных флагах и не только знак революционной идеологии. Она встречается на флагах некоторых мусульманских стран, таких как Марокко, символизируя пять заповедей ислама. Кроме того, звезды, обозначающие штаты на флаге США, также пятиконечные.

МАТИЛА ГИКА (1881–1965)

Принц Матила Гика был писателем, румынским дипломатом и профессором эстетики в Соединенных Штатах. Он изучал золотое сечение, о котором писал в книгах, сегодня считающихся классическими, таких как «Эстетика пропорций в природе и искусстве» (1927) и «Золотое сечение» (1931). Благодаря его работам золотое сечение стало частью современной европейской культуры. В своих книгах он выдвинул известный тезис: древнегреческие художники классической эпохи использовали золотое сечение преднамеренно. Хотя эта идея очень популярна, она не принята другими экспертами и по-прежнему остается предметом дискуссий.

Книги Гика пытались охватить всю классическую культуру, уделяя особое внимание идеям Платона о том, что числа «существуют» не только в абстрактном мире. Идеи Гика стали популярны во всем мире и приобрели известных, хотя иногда слишком пылких сторонников, таких как французский поэт Поль Валери.

Периодические и апериодические плитки

В нашей беспокойной жизни нам часто не хватает времени, чтобы обратить внимание на окружающий мир, в том числе на то, что у нас под ногами. Поэтому мы не замечаем геометрии на тротуаре (если, конечно, обо что-нибудь случайно не споткнемся). В этом параграфе мы займемся формами кирпичей, керамической плитки и мозаики — всего того, что нас окружает.

Все мы знаем, что такое мозаика. Однако было бы неплохо получить ее точное определение. Мозаика, таким образом, будет определяться как такое покрытие поверхности кусочками, которые мы называем мозаичной плиткой (или просто плитками), когда между этими плитками не остается зазоров, и никакие плитки не перекрывают друг друга.

Для математиков наиболее интересны такие мозаики, в которых покрытие состоит из многоугольников, потому что многоугольники могут иметь общие стороны и вершины и поэтому представляют собой отличное поле для геометрических экспериментов. Это может показаться сложной задачей, однако нас окружает множество реальных примеров: плитка на полу, на стенах домов, в служебных помещениях и даже на улице.

УГЛЫ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Существует способ нахождения величины углов в правильном многоугольнике с любым числом сторон. Так как все углы правильного многоугольника равны, для начала нужно вычислить сумму всех углов правильного многоугольника с известным числом сторон. Затем мы разделим результат на количество сторон и получим величину каждого из углов.

Чтобы найти сумму углов многоугольника, у которого n сторон, мы выберем любую вершину и проведем диагонали, соединив ее со всеми другими вершинами. Мы получим (n — 3) диагоналей, так как эту вершину можно соединить со всеми остальными, за исключением двух соседних. Диагонали образуют (n — 2) треугольников. Таким образом, сумма углов всех этих треугольников равна сумме углов исходного многоугольника. Как мы знаем, сумма углов любого треугольника равна 180°. Таким образом, общая сумма углов многоугольника будет S = (n — 2)180°.

Каждый из углов правильного многоугольника будет равен s = (n — 2)∙180°/n. Подставляя в это выражение вместо n число сторон наиболее распространенных многоугольников, мы получим следующую таблицу:

* * *

Главной задачей, связанной с мозаикой, является нахождение наименьшего узора, который, повторяясь, позволяет заполнить данную поверхность. Этот минимальный узор может быть одной плиткой, которая заполняет поверхность, просто повторяясь, без поворотов и симметрии. Такой процесс дает нам так называемую периодическую мозаику. Апериодические мозаики не имеют минимального узора для покрытия поверхности, но заполняют все пространство, используя золотое сечение.