Предположим, что мы должны покрыть пол (или любую другую ровную поверхность) плиткой, имеющей форму правильного многоугольника. Какую форму предпочесть? Можно подумать, что любой правильный многоугольник подойдет, но это не так. Например, мы не сможем сделать покрытие из правильных пятиугольников. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать и вырезать несколько равных правильных пятиугольников, положить их на ровную поверхность и попытаться покрыть площадь, равную сумме площадей пятиугольников. Прежде всего, попытаемся разложить их так, чтобы их вершины касались друг друга. С первыми двумя никаких проблем не возникнет, но когда мы добавим третий, то увидим, что осталось немного места, которое не может быть заполнено другим пятиугольником.
Угол правильного пятиугольника равен 108°. Соединяя три пятиугольника, мы получим общий угол 3∙108° = 324°. Пространство было бы заполнено, если общий угол был бы равен 360°, величине полного оборота. Нам не хватает 36°. Если мы добавим еще один пятиугольник, у нас будет слишком много градусов для полного оборота.
Мы нашли необходимое условие для покрытия равными многоугольниками: сумма углов должна быть 360°. Другими словами, угол правильного многоугольника должен быть делителем 360°. У каких многоугольников есть такие углы? Только у правильного шестиугольника, правильного треугольника и квадрата. Это единственные правильные многоугольники, которые можно использовать в качестве плитки. Так как шестиугольник делится на шесть равносторонних треугольников, можно сказать, что существует только две возможности заполнить поверхность правильными многоугольниками: квадратные и треугольные плитки. Именно они и используются чаще всего, мы видим их вокруг — на полу и на стенах.
Однако пятиугольники не совсем бесполезны для наших целей. По правде говоря, плитка может быть и в форме пятиугольников, если только они не являются правильными. Например, пятиугольник, образованный квадратом и равносторонним треугольником, лучше всего можно представить в виде открытого конверта. Этот многоугольник является равносторонним — все его стороны одной и той же длины — но углы его не равны. Существует еще 13 видов других неправильных многоугольников, которые также могут быть использованы в качестве плитки. Причина, по которой они редко используются на практике, кроется, вероятно, в их не эстетичности. Хотя форма их геометрически корректна.
Альгамбра — дворец времен династии Насридов, правившей Гранадским эмиратом в южной Испании до его завоевания христианами в 1492 г. Это впечатляющий памятник архитектуры и одна из самых посещаемых достопримечательностей в мире. Если внимательно изучить архитектуру дворца, мы увидим, что в ее основе лежат простые правила.
Покажем это на трех типах мозаики. Именно мозаичная плитка и ее повторяющиеся узоры приводят к удивительным результатам. Искусство мавританских художников породило сложные мозаики, которые мы видим вокруг нас.
Первый тип мозаики в Альгамбре называется «кость» или «насридская кость». На рисунке ниже можно увидеть, как она выполняется и какие узоры получаются.
В данном квадрате проведем диагонали, затем разделим основание квадрата на четыре равные части и через эти точки проведем вертикальные линии. Наконец, извлечем полученные трапеции и поместим их над верхней и под нижней сторонами квадрата.
Второй тип — «птичка» — получается из треугольных узоров и часто используется во многих современных мозаиках.
Возьмем равносторонний треугольник и проведем дуги от вершины до середины каждой стороны. Вынем эти сегменты и поместим их на внешней стороне исходного треугольника.
Третий тип мозаики довольно необычен. За основу берутся квадратные плитки, и получается узор в виде «гвоздей».
Внутри квадрата построим два прямоугольных треугольника, гипотенузы которых являются сторонами квадрата. Затем извлечем треугольники и поместим их с внешней стороны смежных сторон.