Другие замечательные примеры математических мозаик в искусстве в изобилии встречаются в творчестве нидерландского художника Эшера. Он родился на рубеже XIX и XX веков и уже в юности использовал математику в своих работах. Однако его интерес к мозаике проявился после поездки в Альгамбру в 1936 г.
Эта мозаика Эшера использует два узора в виде птиц, которые хотя и не являются геометрическими фигурами, тем не менее заполняют поверхность не оставляя зазоров.
До сих пор мы видели мозаичные узоры (треугольные и квадратные), использующие только один вид плитки, но можно также построить полуправильные мозаики, в которых узором является пара правильных многоугольников, отличающихся друг от друга. Как и прежде, единственное условие — чтобы углы в сумме давали 360°.
Многие дизайны используют повторяющиеся узоры, чтобы покрыть поверхность не оставляя зазоров. Такие узоры встречаются на рисунках на керамике, на решетках окон, на тротуарах и тканях. Они часто используются при вязании, плетении и вышивке.
Узоры на перилах, тканях и в мозаике, как правило, используют повторяющиеся мотивы, чтобы заполнить поверхность. Такие узоры обычно имеют геометрические формы.
СОЗДАЙТЕ СОБСТВЕННУЮ МОЗАИКУ
Придумать узоры мозаик, подобные мозаикам дворца Альгамбры, очень сложно, но это может быть интересным упражнением. Недостаточно просто придумать красивый дизайн; любая мозаика основана на математике. Эти примеры могут вдохновить вас на собственные идеи.
Мозаика Пенроуза
Апериодические мозаики содержат более одного узора, которыми заполняется вся поверхность. Казалось бы, разработка дизайна апериодической мозаики является очень сложной задачей или, по крайней мере, потребует использования многих форм плитки. До 1970-х гг. эта задача была своего рода математической головоломкой.
Первый подход заключается в создании радиальных мозаик. Например, возьмем мозаику из равнобедренных треугольников. Разрезав ее пополам и сдвинув верхнюю половину влево, мы получим апериодическую спираль.
Еще одна проблема заключается в нахождении мозаичных плиток для апериодической мозаики. В течение очень долгого времени математики пытались решить эту проблему, но в результате были найдены лишь узоры, содержащие огромное количество составных элементов. В 1971 г. американский математик Рафаэль Митчел Робинсон разработал дизайн, в котором используются плитки только шести видов, полученных путем добавления выемок и выступов к квадрату.
В 1973 г. физику и математику сэру Роджеру Пенроузу (род. в 1931 г.) удалось уменьшить количество плиток до четырех. Год спустя он свел количество к двум. С плитками двух простых типов Пенроуз смог построить апериодическую мозаику. Эти два типа получили названия «воздушный змей» и «дротик». На рисунке это фигуры ABED и BCDE. Вместе они образуют ромб со стороной 1 и углами 72° и 108°. Присутствие Ф вполне закономерно, как и можно было бы ожидать с такими величинами углов.
«Воздушный змей» (заштрихованный) состоит из двух «золотых» треугольников, совмещенных по одной из их равных сторон. Таким образом, длины двух больших сторон равны 1, а двух меньших — Ф — 1 = 1/Ф. Три угла по 72°, а четвертый — 144°. «Дротик» образован двумя «золотыми» гномонами, совмещенными по их меньшей стороне. Это четырехсторонняя вогнутая фигура с формой, дополняющей форму «воздушного змея». Она имеет два угла по 36°, один в 72° и один в 216° (который больше, чем развернутый угол в 180°).
Очевидно, что мы можем построить периодические мозаики с помощью этих двух плиток, если образуем из них ромб. Если мы не хотим повторяющихся узоров, существует другой способ. Обозначим каждую из вершин (например, буквой) и примем условие, что только вершины с одной и той же буквой могут совпадать, когда плитки касаются друг друга.
В каждой «мозаике Пенроуза» отношение числа плиток двух типов стремится к золотому сечению. Казалось бы, нам потребуется больше «дротиков», чем «воздушных змеев», но на самом деле наоборот. «Воздушных змеев» потребуется в Ф раз больше, чем «дротиков».
Пенроуз разработал еще один набор плиток, состоящий из двух ромбов, где первый образован двумя «золотыми» треугольниками, а второй — двумя «золотыми» гномонами.