Глава 5
Золотое сечение в природе
Представьте себе очень простую форму вроде прямоугольника. Как можно увеличить его размеры, не теряя соотношения сторон? Здравый смысл подсказывает нам, что прямоугольник должен расти равномерно, то есть в одинаковой пропорции во всех направлениях, как если бы его стороны были эластичными и понемногу бы растягивались. Логично предположить, что естественный рост прямоугольника означает, что все стороны удлиняются с одинаковой скоростью. Но тогда соотношение сторон будет меняться, и растущий прямоугольник изменит пропорции.
Растущие формы
Во второй главе мы видели, что при добавлении квадрата к «золотому» прямоугольнику, если сторона квадрата равна длинной стороне прямоугольника, получается другой «золотой» прямоугольник. Размер «золотого» прямоугольника увеличился, но его форма сохранилась, так как во всех «золотых» прямоугольниках соотношение сторон одно и то же (Ф). То же самое происходит, когда мы отсекаем квадрат от «золотого» прямоугольника. Поэтому мы говорили, что гномоном «золотого» прямоугольника является квадрат. Это свойство характерно для «золотых» прямоугольников и эквивалентно определению Ф. Поэтому чтобы изменить размер фигуры, не изменяя ее формы, мы можем использовать золотую пропорцию. В этом можно убедиться, наблюдая за ростом живых существ, например, растений.
Чтобы понять, что именно подразумевается под «сохранением формы», рассмотрим пример человека. Изменяются ли наши пропорции по мере нашего роста? Действительно, следует заметить, что развитие человеческого тела представляет собой постоянное изменение пропорций. Как бы мы к этому ни относились, но, к счастью, по мере взросления мы изменяемся. Если бы мы сохранили пропорции, данные нам при рождении, нам было бы трудно удержать голову в вертикальном положении.
В той же главе мы рассказывали о «золотой» спирали, которая отличается от других спиралей тем, как именно она расширяется с каждым витком. Шотландский биолог Д’Арси Томпсон (1860–1948), известный как «первый биоматематик»,
Плод человека Плод человека Плод человека Ребенок Ребенок Ребенок Человек в 2 месяца в 7 месяцев в 9 месяцев в 2 года в 6 лет в 12 лет в 18 лет заметил, что способ увеличения в размерах некоторых живых существ без изменения формы характерен только для логарифмической спирали в отличие от других математических кривых: «Любая плоская кривая с фиксированным полюсом, такая, что полярная область сектора всегда является гномоном предыдущей области, есть логарифмическая спираль».
Насекомые летят по «золотой» спирали, когда приближаются к источнику света. Если, пытаясь приблизиться к неподвижной точке, мы хотим сохранять при этом угол поворота, такая спираль является для нас единственной возможной траекторией. Хищные птицы следуют такой траектории, когда нападают на добычу. Это единственный способ держать голову в одном и том же положении, чтобы не выпускать цель из поля зрения при максимальной скорости.
Сравнение пропорций головы и тела человека на различных этапах развития.
Золотое сечение у живых существ
«Витрувианский человек» Леонардо да Винчи строился на предположении, что Ф присутствует в животном мире. Начиная с того времени, в науке и искусстве продолжаются исследования связей различных частей человеческого тела с золотым сечением. Однако уже в средние века меры частей человеческого тела использовались в качестве стандартов. При постройке французских соборов использовался измерительный прибор, состоящий из пяти стержней, представляющих длины ладони, большой и малой пяди (расстояния от конца мизинца до конца большого и указательного пальцев соответственно), ступни и локтя.
Все эти длины были кратны меньшей единицы длины, называемой линией, равной 1/12 дюйма, то есть немногим меньше 2,5 мм (точнее, 2,247 мм). В следующей таблице показаны эти меры длины в метрических единицах. Мы видим, что количества линий являются числами из последовательности Фибоначчи, так как отношение каждого к предыдущему равно Ф, что еще более удивительно, ведь эти единицы измерений соответствуют произвольным частям человеческого тела.
Филлотаксис и золотое сечение
Филлотаксис — слово греческого происхождения, состоящее из phyllon — «лист» — и taxis — «расположение в порядке». Слово относится к разделу ботаники, изучающему расположение листьев на стебле растения. А это, как мы увидим, регулируется геометрическими и числовыми законами. Изучение филлотаксиса привело к открытию некоторых удивительных закономерностей роста природных систем, которые описываются точным математическим языком.