Одной из характерных особенностей фракталов является самоподобие. Другими словами, они сохраняют одну и ту же форму при увеличении или уменьшении размера. Будем ли мы смотреть на них с близкого расстояния или издалека, в целом или на какую-то часть, мы всегда будем видеть одно и то же.
Фрактальные снежинки
Кривая Коха — это фрактал, также называемый «снежинкой Коха» из-за стилизации формы снежинки. Это один из первых фрактальных объектов, описанный в 1906 г. шведским математиком Хельге фон Кохом (1870–1924) задолго до того, как эти объекты получили сегодняшнее название. Давайте посмотрим, как строится кривая Коха и какими свойствами она обладает.
Возьмем равносторонний треугольник и разделим каждую сторону на три равных отрезка. Затем удалим центральную часть на каждой стороне и построим извне равносторонний треугольник со сторонами, равными центральному отрезку, который мы удалили.
Будем повторять этот процесс для каждого построенного маленького равностороннего треугольника. Вскоре станет слишком трудно делать построения с помощью карандаша и бумаги, но компьютер может продолжать процесс очень долго.
Мы можем посчитать периметр и площадь «снежинки Коха». При каждом шаге мы заменяем отрезок длины 3(3 части) на 4 отрезка общей длины 4.
Таким образом, при каждом шаге начальная длина умножается на 4/3. Если изначальный периметр равностороннего треугольника был равен L, после n шагов длина кривой будет
Ln = L∙(4/3)n.
Так как 4/3 больше 1, то значение этого выражения может быть сколь угодно большим! Или в математических терминах, длина кривой Коха, Ln, стремится к бесконечности. Мы можем удлинять ее неограниченно.
Давайте посмотрим, что происходит с площадью. Предположим, что исходный треугольник имеет площадь А = 1.
Разобьем его на треугольники, сторона которых в три раза меньше исходной, то есть получим девять маленьких треугольников. Еще три треугольника были добавлены после первого шага, их общая площадь составляет 1/3 от первоначальной площади. Таким образом, мы имеем:
A1 = 1 + 1/3 = 4/3
Вокруг каждого маленького треугольника Т2 мы добавляем четыре еще более маленьких треугольника при следующем шаге, Т3, что составляет 4/9 площади трех треугольников Т2, которая, как мы видели, равняется трети от общей площади А1. Таким образом, при втором шаге мы добавили (4/9)∙(1/3).
Рассуждая аналогичным образом, мы видим, что при каждом из следующих шагов мы добавляем 4/9 от площади, добавленной при предыдущем шаге, так что наша общая площадь выражается так:
A = 1 + 1/3 + (4/9)∙(1/3) + (4/9)2∙1/3 + (4/9)3∙1/3 +…
Упростим это выражение. Вынесем общий множитель за скобки, а к выражению в скобках применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:
A = 1 + (1/3)∙(1 + 4/9 + (4/9)2 +(4/9)3 +…) = 1 + (1/3)∙(1/(1 — (4/9)) = 1 + (1/3)∙(9/5) = 8/5 = 1,6.
Таким образом, после бесконечного числа шагов у нас получится кривая бесконечной длины, однако эта кривая ограничивает площадь, которая всего лишь в 1,6 раза больше площади исходного треугольника.
Размерность «снежинки» больше 1 и меньше 2. Давайте вспомним наш первый шаг: мы перешли от отрезка длины 3 к отрезку длины 4. Если бы мы остались на прямой, ее размерность была бы равна 1, потому что 31 = 3. Если бы мы построили квадрат со стороной 3, он бы имел площадь 9, потому что 32 = 9, и размерность 2. При переходе к длине 4 размерность является числом d, таким, что 3d = 4. Чтобы найти d, мы используем логарифмы.
d = log 4/log 3 = ~ 1,2619
Как мы видим, размерность является дробным числом. Вот почему Мандельброт использовал латинское слово fractus.
Существует другой вариант этой кривой, который нам очень знаком: антиснежинка Коха. Она строится аналогично снежинке, только при каждом шаге треугольники добавляются внутри исходного треугольника. Эта антиснежинка используется в качестве логотипа японской марки автомобилей.
Но фракталы представляют собой нечто большее, чем забавный математический парадокс: сама природа имеет фрактальную структуру. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на деревья: рост ветвей можно с поразительной точностью смоделировать с помощью фракталов. Существует много фрактальных моделей деревьев, где из каждого сучка под определенным углом растут ветви, длина которых равняется длине предыдущей ветки, умноженной на коэффициент f. В зависимости от значения этого множителя ветки могут пересекаться и даже расти друг на друге.