Шестая книга «Начал» Евклида содержит евдоксову теорию пропорций и планиметрию. В этой книге Евклид излагает теоремы подобия треугольников и построение третьего, четвертого и среднего пропорционального. Это первое описание золотой пропорции в математике. Оно дано в Определении 3 в наиболее классической форме, как «крайнее и среднее отношение», а в Предложении 30 Евклид приводит пример деления отрезка в золотой пропорции.
Книга VI
Определения
3. Говорится, что прямая делится в крайнем и среднем отношении, если целое относится к большему отрезку как больший отрезок к меньшему.
Предложения
Предложение 30. Данную ограниченную прямую рассечь в крайнем и среднем отношении.
Пусть данная ограниченная прямая будет АВ.
Тогда требуется рассечь прямую АВ в крайнем и среднем отношении. Построим на АВ квадрат ВС и приложим к АС равный ВС параллелограмм CD с избытком — фигурой AD, подобной ВС.
ВС же есть квадрат; значит, и AD квадрат. И поскольку ВС равен CD, то отнимем от обоих общее СЕ; значит, оставшийся параллелограмм BF равен оставшемуся параллелограмму AD. И оба равноугольны; значит, в BF и AD стороны при равных углах обратно пропорциональны; следовательно, как и FE к ED, то и АЕ к ЕВ. Но FE равна АВ, и ED равна АЕ. Значит, как и ВА к АЕ, так и АЕ к ЕВ. Но АВ больше АЕ; значит, и АЕ больше ЕВ.
Значит, прямая АВ рассечена в Е в крайнем и среднем отношении, и больший ее отрезок АЕ.
Хотя именно в шестой книге рассказывается о золотом сечении, Евклид уже упоминал эту пропорцию в предложении 11 второй книги, где он пытается решить геометрическим способом уравнение (а — х) = х2. Фактически это предложение аналогично предложению 30 из шестой книги, отличие лишь в терминологии. Можно сказать, что предложение 11 второй книги является первым предложением, в котором появляется золотое сечение, но автор, похоже, хотел уделить этим вопросам больше внимания позже. Во второй книге Евклид скрывает их под задачей о прямоугольниках. В любом случае, он этим демонстрирует, что любая задача, связанная с пропорциональными отрезками, может быть сформулирована как задача о прямоугольниках.
Книга II
Предложение 11. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.
Пусть данная прямая будет АВ.
Следовательно, требуется АВ рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.
Надстроим на АВ квадрат ABDC и рассечем АС пополам в точке Е и проведем BE. Продолжим СА до F, отложим EF, равную BE. Надстроим на AF квадрат FH и продолжим СН до К.
Поскольку АС рассечена пополам в Е и к ней прикладывается FA, то значит, прямоугольник, заключенный между CF, FA вместе с квадратом на АЕ, равен квадрату на EF. EF же равна ЕВ; значит, прямоугольник между CF, FA, вместе с квадратом на АЕ, равен квадрату на ЕВ. Но квадрату на ЕВ равны квадраты на ВА и АЕ, ибо угол при А прямой; значит, прямоугольник между CF, FA вместе с квадратом на АЕ равен квадратам на ВА и на АЕ. Отнимем общий квадрат на АЕ; остающийся прямоугольник, заключенный между CF, FA равен квадрату на АВ. И прямоугольник между CF, FA есть FK, ибо AF равна FC; квадрат же на АВ есть AD; значит, FK равно AD. Отнимем общий АК, значит, остаток FH равен НА. И НА есть прямоугольник между АВ, ВН, ибо АВ равна BD; FH же есть квадрат на АН; значит, прямоугольник, заключенный между АВ и ВН, равен квадрату на НА.
Значит, данная прямая АВ рассечена в Н так, что прямоугольник, заключенный между АВ и ВН, она делает равным квадрату на НА.
«Книга абака» Фибоначчи — довольно объемная работа, наполненная интересными задачами из арифметики и алгебры, с которыми ее автор сталкивался в путешествиях. Намерение Фибоначчи заключалось в том, чтобы продемонстрировать преимущества индо-арабской десятичной системы, а также способствовать ее распространению в Европе. В первом параграфе его книги впервые для Запада появились цифры, которые мы используем и сегодня.
Девять индийских чисел: 9 8 7 6 5 4 3 2 1.
С помощью этих девяти чисел и со знаком нуля, который арабы называют зефиром, любое другое число может быть записано, как мы покажем ниже. Число является суммой единиц, и при их добавлении число может увеличиваться без конца. Сначала получаются эти числа, от одного до десяти. Потом из десятков мы строим числа от десяти до ста. Затем из сотен мы строим числа от ста до тысячи… И таким образом, в бесконечной последовательности шагов, любое число может быть построено объединением предыдущих чисел. Первая цифра пишется с правой стороны. Вторая цифра следует за первой слева.