Для начала вспомним, что Ф является решением уравнения:
х2 — х — 1 = 0. (1)
Мы только что проверили это с приближенным значением, показав, что
Ф2 — Ф — 1 = () => Ф2 = Ф + 1. (2)
Начиная с уравнения (2), несколько раз умножим обе части на Ф и получим:
Ф3 = Ф2 + Ф
Ф4 = Ф3 + Ф2
Ф5 = Ф4 + Ф3
….
Мы видим, что любая степень Ф равна сумме двух предыдущих степеней. В результате, имея значения Ф и Ф2, нам не нужно выполнять операции умножения для получения других степеней Ф, достаточно сложить две последовательных степени, чтобы получить следующую.
Аналогично, используя выражения (2) и (3), мы можем найти другие соотношения между степенями Ф, которые содержат только само значение Ф и натуральные числа.
Ф3 = Ф2 + Ф = Ф + 1 + Ф = 2Ф + 1
Ф4 = Ф3 + Ф2 =(2Ф + 1) + (Ф + 1) = 3Ф + 2
Ф5 = Ф4 + Ф3 = (3Ф + 2) + (2Ф +1) = 5Ф + 3
Ф6 = Ф5 + Ф4 = 8Ф + 5
Ф7 = Ф6 + Ф5 = 13Ф + 8
Ф8= Ф7 + Ф6 = 21Ф +13
(4)
Мы видим, что для получения любой степени Ф достаточно умножить число Ф на сумму двух натуральных чисел из выражения для предыдущей степени Ф, а затем добавить коэффициент при Ф из предыдущего выражения. (Коэффициент — это множитель в математическом выражении.) Например, в выражении для Ф6 число 8, коэффициент при Ф, является суммой 5 и 3, которые содержатся в выражении для Ф5, а слагаемое 5 является коэффициентом при Ф для той же степени Ф5.
Запомним эти свойства, выражаемые формулами (3) и (4), они нам потребуются, когда мы будем использовать последовательность Фибоначчи для получения приближенного значения Ф. Но более подробно об этом будет рассказано позже. Левая часть выражения (3) также показывает, что мы можем построить геометрическую прогрессию из Ф, складывая его две последовательных степени.
Вычислим теперь значение 1/Ф, чтобы проверить, случаен ли был результат, который мы получили с приближенным значением Ф. Начнем с выражения (2), определяющего Ф:
Ф2 = Ф + 1
Ф2 — Ф = 1.
Разделим все члены этого уравнения на Ф:
(Ф2 — Ф)/Ф = 1/Ф
Ф — 1 = 1/Ф
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
Числа, которые являются решением полиномиального уравнения (содержащего более двух членов) с целочисленными коэффициентами, называются алгебраическими числами. Примерами алгебраических чисел являются √2, решение уравнения х2 — 2 = 0, и золотое сечение, Ф, решение уравнения х2 — х — 1 = 0.
Числа, которые не являются решением полиномиального уравнения — т. е. не алгебраические — называются трансцендентными числами. Так как существует бесконечное число полиномиальных уравнений, можно подумать, что почти все числа являются алгебраическими. Но это не так трансцендентных чисел намного больше, чем алгебраических.
Доказать, что число трансцендентное, не так просто, так как существует бесконечное число уравнений, все их невозможно перебрать для доказательства. Невозможно предъявить решения каждого уравнения! Два самых известных трансцендентных числа — это е и π. Трансцендентность первого была доказана французским математиком Шарлем Эрмитом в 1873 г. И хотя это было известно много веков назад, лишь в 1882 г. немецким математиком Фердинандом фон Линдеманом было представлено доказательство трансцендентности числа тт.
Это удивительное свойство открывает нам новые возможности. С помощью этого простого упражнения мы видим, что число Ф, несмотря на свое скромное определение, ведет нас к замечательным открытиям. Оно появляется в самых различных областях математики, а также имеет далеко идущие свойства.
Проиллюстрируем это, найдя значение следующей последовательности квадратных корней:
Добавляя по одному корню из единицы, мы получим последовательность приближенных значений числа А.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Для математика термин «последовательность» означает неограниченный набор упорядоченных чисел, построенный по определенному правилу. Члены последовательности обычно обозначаются буквой с нижним индексом, который указывает на занимаемое в последовательности место: a1, а2, a3…, аn… = {аn}.