Два примера последовательностей: четные числа {2, 4, 6, 8, 10,…} = {2n}, и квадраты чисел {1, 4, 9, 16, 25…} = {n2}. Другим примером являются геометрические прогрессии, в которых каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянное число, называемое знаменателем профессии. Иными словами, отношение двух последовательных членов является числом постоянным. Многие последовательности имеют выражение, которое позволяет нам найти значение каждого члена в зависимости от позиции, которую он занимает. Зная этот общий член, мы можем определить последовательность и найти все ее члены. В случае геометрической прогрессии, где первый член а1 и знаменатель г, общий член выражается как аn = а1∙rn-1. Последовательность можно определить также с помощью так называемого рекуррентного соотношения, которое позволяет получить значение члена последовательности, зная предыдущие члены. Конечно, удобнее работать с общим членом, но записать для каждой последовательности формулу общего члена не всегда возможно или не так просто.
Далее, даже при добавлении дополнительных членов, результаты будут колебаться около значения 1,618, что, по сути, является значением Ф. Снова мы совершенно неожиданно нашли новый способ получения приближенного значения Ф. Хотя мы должны это доказать.
Возводя выражение (5) в квадрат, получим:
Это равносильно уравнению А2 — А — 1 = 0
Это же самое уравнение определяет Ф. Следовательно, мы нашли еще один способ выразить значение золотого сечения:
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
На протяжении долгого времени самым распространенным способом нахождения приближенного значения были цепные дроби: выражения следующего вида, в которых значения а1 являются целыми числами:
Для удобства обозначения цепные дроби, как правило, записываются в виде [а1, а2, а3, а4….], если числа а1 и а2 периодически повторяются, то дробь записывается как [a1, а2]
Для рациональных чисел соответствующие цепные дроби конечны. Например:
Любое иррациональное число, которое содержит квадратный корень, также может быть выражено в виде цепной дроби. Решение уравнения х2 - Ьх - 1 = 0 может быть выражено цепной дробью с периодом Ь.
МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Мы видели, что золотое сечение является положительным корнем квадратного уравнения. Этот подход был обобщен, что дало возможность определить подобные числа, которые образуют семейство так называемых металлических сечений. Наряду с золотым сечением Ф существуют другие сечения: серебряное, бронзовое, медное… Все они аналогичны Ф в смысле геометрических построений и предела отношений чисел последовательности. Металлические отношения всегда определяются алгебраически как положительные решения квадратных уравнений
х2 — px — q = 0,
где р и q — натуральные числа, которые приводят к различным сечениям из семейства металлических сечений. Если взять р = 2 и q = 1, то положительным решением уравнения будет число 1 + √2 = 2,414213562373095048. Оно называется серебряным сечением.
Если взять р = 3 и q = 1,то положительное решение уравнения (3 + √13)/2 = 2,30277563773199464… дает нам бронзовое сечение.
Аналогия между металлическими сечениями, пожалуй, лучше всего видна, когда они выражены в виде цепных дробей. Мы уже знаем, что Ф = [1¯]. Оказывается, серебряное сечение = [2¯], а бронзовое сечение = [3¯].
Используя цепные дроби для нахождения приближенного значения Ф, мы получим следующее выражение:
Мы знаем, что это верно, потому что мы можем записать (6) в виде:
Таким образом, мы нашли еще два способа выражения Ф(5) и (6). В настоящее время простота компьютерных расчетов снизила важность этих способов, но на протяжении долгого времени эти подходы всегда упоминались в классической литературе. Даже сегодня эти методы хороши для умственной разминки и требуют лишь карманного калькулятора.